Se presenta la definición formal de la derivada de una función, así como su interpretación geométrica.

Si \(y=f(x)\) es función, la derivada de \(f\) en \(x\) es

\[f'(x)=\frac{f(x)}{dx}=\frac{df}{dx}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Una recta tangente a una curva es aquella que la corta (localmente) en un sólo punto. Sea h ”pequeño”. Entonces la recta que pasa por $(x_0,y_0)$ y $(x_0 + h, f (x_0 + h))$ tiene pendiente 

\[m_h=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]

Luego, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ en el punto $x_0$ tiene que ser

\[m_t=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

que coincide con la derivada de $y=f(x)$ en $x_0$.

Halle la ecuación de la recta tangente a $y = x^2$ en $(3, 9)$.

Solución: Sea $f(x)=x^2$. La recta tangente en $(3,9)$ tiene ecuación
\[
y-9=m_t(x-3)
\]
donde
\begin{align*}
m_t&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(3+h)^2-3^2}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3^2+6h+h^2-3^2}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6h+h^2}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}(6+h)\\
&=6.
\end{align*}
Por lo tanto, la ecuación pedida es
\[
y-9=6(x-3).
\]

Si $f (x) = 1/(x − 1)$,  calcular $f ′(x)$.

Solución:  \begin{align*}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{(x+h)-1}-\frac{1}{x-1}}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{x-1-(x+h-1)}{(x+h-1)(x-1)}}{h}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{-h}{(x+h-1)(x-1)}}{\frac{h}{1}}\\
&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-1}{(x+h-1)(x-1)}\\
&=-\frac{1}{(x-1)^2}, \text{ por continuidad.}
\end{align*}

Para una lectura adicional, como parte de la cultura matemática, se puede consultar el siguiente libro de acceso abierto: 

Ekkehard
Kopp,
Making
Up
Numbers:
A
History
of
Invention
in
Mathematics

Cambridge,
UK:
Open
Book
Publishers,
2020, https://doi.org/10.11647/OBP.0236