Así como estamos acostumbrados a respirar, ver el sol, la luna y las estrellas cada día, y quizá por ello ya no apreciamos su importancia y su grandeza, del mismo modo reaccionamos ante nuestro sistema de números reales. El sistema de los números reales merece toda nuestra atención, no sólo porque es base de las matemáticas, sino también porque contiene ideas significativas que dan pie a interesantes aplicaciones. Los distintos tipos de números que existen se inventaron para satisfacer ciertas necesidades específicas. Por ejemplo, los números naturales se necesitan para contar, los números negativos para representar deudas o la temperatura ambiente en lugares muy fríos, los números racionales los ocupamos en acciones cotidianas como por ejemplo pedir “medio kilo de jitomates” en el super, y los números irracionales para calcular el perímetro o el área de un círculo. Es por ello que daremos un recorrido a través del sistema de los números reales.
Los primeros números que aparecieron fueron los números naturales los cuales son utilizados para contar y siempre están ligados a objetos. Los números naturales están representados por el siguiente conjunto:
\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}
La cantidad de números naturales que existen es infinita ya que, si n representa un número natural cualquiera, n+1 es un número natural mayor a él. Las operaciones bien definidas entre ellos son la adición (suma) y el producto (multiplicación). Esto es, si n y m representan números naturales, entonces n+m y nm también son números naturales.
Cuando el sistema numérico incluye al cero y a los negativos, se constituye al conjunto de los números enteros. Su representación está dada por:
\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}
En este conjunto ya están bien definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación.
Observación: los números naturales forman parte de los números enteros.
Cuando el sistema de numeración aparece la operación división, surgen los números racionales, los cuales están formados por cocientes de números enteros. Su representación está dada por:
\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}:\quad p,q\in\mathbb{Z}\quad\textrm{y}\quad q\neq 0\}
Por la forma en como son representados los números racionales, se puede observar que la división entre 0 es imposible, por lo que las expresiones como 5/0 y 0/0 NO están definidas.
En este conjunto ya están bien definidas las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.
Observación: Dado que cualquier número entero n se puede representar de la forma n/1, se puede concluir que cualquier número entero (y en particular, cualquier número natural) es un número racional.
Una forma de identificar a los números racionales es a través de su expresión decimal. Si dicho número tiene expresión decimal finita o infinita pero periódica, entonces es un número racional.
Por ejemplo:
(expresión decimal infinita y periódica)
(expresión decimal finita)
son ejemplos de números racionales.
Cuando la expresión decimal de un número no pertenece a ninguno de los tipos mencionados, esto es, cuando su expresión decimal es infinita y no periódica, el número correspondiente no es racional. A este tipo de números les llamaremos números irracionales. Su representación es con la letra I. Ejemplos de números irracionales son: 
Cuando se unen Los números racionales e irracionales, se obtiene el sistema de números reales, representado por:
\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}
En este conjunto, las operaciones de adición, sustracción, producto y división están bien definidas.
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